Αν ανακατέψατε κάποτε μια τράπουλα, είναι πρακτικά βέβαιο ότι σχηματίσατε μια μοναδική αλληλουχία χαρτιών, ότι είσαστε δηλαδή ο μόνος άνθρωπος που διάταξε τα χαρτιά με αυτήν τη σειρά! Αν και αυτός ο ισχυρισμός μοιάζει εξωφρενικά απίθανος, είναι μια καλή επίδειξη του πώς οι μεγάλοι αριθμοί υπεισέρχονται σε καθημερινές καταστάσεις, με απρόσμενες συνέπειες.

Τα μαθηματικά του ανακατέματος των χαρτιών είναι εύκολο να εξηγηθούν. Για να υπολογιστούν όλοι οι δυνατοί συνδυασμοί 52 χαρτιών, πρέπει να γίνουν όλες οι διατάξεις, δηλαδή καθένα από τα 52 χαρτιά να μπει πρώτο, οπότε υπάρχουν 51 πιθανότητες για το χαρτί που θα μπει δεύτερο. Το επόμενο χαρτί έχει 50 επιλογές σχετικά με το ποιο θα το ακολουθήσει, κ.ο.κ. Ετσι, μια τράπουλα μπορεί να διαταχθεί με 52 x 51 x 50 x ... x 2 x 1 = 52! τρόπους (το θαυμαστικό είναι το σύμβολο του παραγοντικού του αριθμού, δηλαδή του γινομένου όλων των θετικών ακεραίων που είναι μικρότεροι ή ίσοι με τον αριθμό).

Αν κάποιος κάνει τις σχετικές πράξεις, θα βρει έναν αριθμό με 67 μηδενικά! Αυτό σημαίνει ότι οι τρόποι διάταξης των χαρτιών μιας τράπουλας είναι πάνω από ένα τετράκις εκατομμύριο φορές όσα είναι τα άτομα που απαρτίζουν τη Γη! Ωστόσο, η πιθανότητα ένας άλλος άνθρωπος να ανακατέψει την τράπουλα με το ίδιο ακριβώς αποτέλεσμα δεν είναι 1/52!. Αυτός ο αριθμός απλώς δείχνει πόσο πιθανή είναι η κάθε συγκεκριμένη διάταξη των χαρτιών.

Πόσο πιθανό είναι δύο άνθρωποι να ανακατέψουν την τράπουλα καταλήγοντας στην ίδια ακριβώς διάταξη των χαρτιών; Ενας τρόπος για να υπολογιστεί αυτό είναι να υπολογιστεί η πιθανότητα του αντιθέτου και μετά αυτή να αφαιρεθεί από το 1. Αυτό σημαίνει ότι πρώτα εξετάζει κανείς πόσο πιθανό είναι όλοι οι άνθρωποι στον κόσμο να δημιουργήσουν μια εντελώς νέα διάταξη ανακατεύοντας. Ο πρώτος άνθρωπος θα είχε πιθανότητα 1, ο δεύτερος πιθανότητα (52! - 1) / 52!, ο τρίτος (52! - 2) / 52! κ.ο.κ. Το άθροισμα αυτών των πιθανοτήτων πρέπει να αφαιρεθεί από το 1.

Αν υπάρχουν 8 δισεκατομμύρια άνθρωποι στη Γη, η πιθανότητα είναι 1 - (52! - 1) / 52! x (52! - 2) / 52! x (52! - 3) / 52! x ... x (52! - 8.000.000.001) / 52!. Το πρόβλημα είναι ότι οι αριθμομηχανές, ακόμα και πακέτα μαθηματικών για ηλεκτρονικούς υπολογιστές, δεν μπορούν να υπολογίσουν το 52!. Εφαρμόζοντας μια μαθηματική προσέγγιση του γινομένου αυτού, προκύπτει ότι η πιθανότητα είναι μικρότερη από 8 x 10^-49. Δηλαδή είναι μικρότερη από έναν δεκαδικό αριθμό που έχει 46 μηδενικά μετά την υποδιαστολή!

Βεβαίως, ένας άνθρωπος μπορεί να έχει ανακατέψει την τράπουλα πολλές φορές στη ζωή του. Αν υποθέσουμε ότι κάθε άνθρωπος την έχει ανακατέψει 100 φορές, τότε η πιθανότητα να βγει η ίδια διάταξη είναι μικρότερη από 8 x 10^-43, δηλαδή το πράγμα δεν αλλάζει και πολύ. Το ίδιο συμβαίνει και αν συνυπολογίσουμε κάθε άνθρωπο που έχει ζήσει ποτέ πάνω στη Γη (παρότι το είδος μας δεν παίζει χαρτιά παρά μόνο για πολύ μικρό τμήμα της διαδρομής του στον πλανήτη), δηλαδή κατά μία εκτίμηση για 117 δισεκατομμύρια ανθρώπους. Ακόμα και τότε, η πιθανότητα παραμένει μικρότερη από 1,7 x 10^-40. Με άλλα λόγια, είναι εξαιρετικά απίθανο σε ολόκληρη την Ιστορία της ανθρωπότητας δύο άνθρωποι να ανακάτεψαν (καλά) μια τράπουλα και το ανακάτεμα να οδήγησε στην ίδια διάταξη των 52 χαρτιών.