Ο Ντέιβιντ Σμιθ, χομπίστας μαθηματικός στο Γιόρκσαϊρ της Αγγλίας, ανακάλυψε ένα σχήμα με 13 πλευρές που οι επαγγελματίες μαθηματικοί αναζητούσαν επί δεκαετίες! Το όχι ιδιαίτερα ομαλό σχήμα, που μοιάζει λίγο και με καπέλο, ονομάζεται «Αϊνστάιν», με βάση τη γερμανική λέξη για τη «μία πέτρα». Αν χρησιμοποιούσατε πλακίδια «Αϊνστάιν» για να καλύψετε το πάτωμα του μπάνιου σας ή οποιαδήποτε άλλη επίπεδη επιφάνεια, ακόμα κι αν ήταν απείρως μεγάλη, τα πλακίδια θα ταίριαζαν απόλυτα, χωρίς ποτέ να σχηματίσουν ένα επαναλαμβανόμενο μοτίβο! Επί δεκαετίες οι μαθηματικοί αναζητούν τέτοια πλακίδια, που μπορούν να σχηματίσουν μόνο μη επαναλαμβανόμενες διατάξεις, που αποκαλούνται απεριοδικές επιστρώσεις. Την αναζήτηση άρχισαν με σύνολα διαφορετικών πλακιδίων: Το πρώτο σύνολο, που ανακαλύφθηκε το 1964, απαιτούσε 20.426 διαφορετικά πλακίδια, αλλά αργότερα απλουστεύτηκε, ώστε να περιέχει μόνο 103. Το 1974 ο μαθηματικός Ρότζερ Πένροουζ ανακάλυψε δύο σχήματα πλακιδίων που, όταν συνδυαστούν σε ένα μωσαϊκό, δεν σχηματίζουν ποτέ ένα επαναλαμβανόμενο μοτίβο.

Ηταν όμως δυνατόν να σχηματιστεί μια απεριοδική επίστρωση με πλακάκια ενός μόνο σχήματος, του υποθετικού - μέχρι τότε - «Αϊνστάιν»; Μαθηματικοί που είχαν ασχοληθεί με το θέμα ήταν επιφυλακτικοί ως προς την πιθανότητα να ανακαλυφθεί κάποτε ένα πραγματικό «Αϊνστάιν». Οταν ανακαλύφθηκε από τον Σμιθ, εξεπλάγησαν όχι μόνο γι' αυτό, αλλά και επειδή ήταν ένα τόσο απλό σχήμα. Ο Σμιθ ανακάλυψε το «Αϊνστάιν» τον Νοέμβρη του 2022, καθώς πειραματιζόταν με διαφορετικά σχήματα, χρησιμοποιώντας ένα λογισμικό που ονομάζεται Polyform Puzzle Solver. Το σχήμα του «Αϊνστάιν» ήταν πολύ απλούστερο από οτιδήποτε μπορούσαν να προβλέψουν οι μαθηματικοί.

Αν και το «Αϊνστάιν» του Σμιθ φαινόταν να δημιουργεί σχήματα που δεν επαναλαμβάνονται, μαζί με τον Κρεγκ Κάπλαν, επιστήμονα Υπολογιστικής του Πανεπιστημίου του Βατερλό στο Οντάριο, βάλθηκαν να αποδείξουν ότι το ίδιο θα συνέβαινε οποιοδήποτε μέγεθος και να είχε η πλακόστρωση με αυτό. Στο έργο αυτό στρατολόγησαν έναν προγραμματιστή και έναν μαθηματικό του Πανεπιστημίου του Αρκανσο, που είχαν δουλέψει στο παρελθόν με πλακίδια και συνδυαστική.

Απέδειξαν ότι τα σχήματα του Σμιθ, όταν συνδυαστούν, σχηματίζουν τέσσερα διαφορετικά μεγαλύτερα σχήματα. Προσθήκη περισσότερων πλακιδίων δημιουργεί απλώς μεγαλύτερες εκδοχές αυτών των σχημάτων, τα «υπερπλακίδια». Οι μαθηματικοί είχαν ήδη αποδείξει ότι αυτή η ιεραρχική δομή σημαίνει πως τα πλακίδια δεν μπορούν να διαχωριστούν σε επαναλαμβανόμενα τμήματα, και γι' αυτό πρέπει να είναι απεριοδικά. Ως δεύτερη απόδειξη, η ομάδα εφηύρε μια νέα μέθοδο που μπορούσε να συγκρίνει τα πλακίδια του Σμιθ με απεριοδικές πλακοστρώσεις καλύτερα μελετημένων σχημάτων, που αποκαλούνται πολυδιαμάντια. Στο πλαίσιο της διαδικασίας απόδειξης, η ομάδα έδειξε πώς μπορούσε κανείς να κατασκευάσει έναν άπειρο αριθμό από ανάλογα «Αϊνστάιν», μεταβάλλοντας τα μήκη ορισμένων πλευρών.

Παρ' όλα αυτά, οι μαθηματικοί δεν έχουν καταλάβει τι κάνει τόσο ξεχωριστό το σχήμα με τις 13 πλευρές. Ισως υπάρχουν και άλλες κατηγορίες «Αϊνστάιν», αλλά το σχήμα του Σμιθ δεν λέει να αποκαλύψει τι το κάνει τόσο ιδιαίτερο.