Αν και τα μαθηματικά και η τέχνη φαίνονται ως άκρα αντίθετα, για μερικούς καλλιτέχνες τα μαθηματικά είναι πηγή έμπνευσης. Από την άλλη πλευρά, η διερεύνηση των ιδεών για έργα τέχνης βασισμένα σε μαθηματικές αρχές, συχνά συμβάλλει έμμεσα στην πρόοδο των σχετικών κλάδων των μαθηματικών. Η σύμφυση αυτή μπορεί να οδηγήσει στη δημιουργία πολύ όμορφων αντικειμένων, που έχουν ταυτόχρονα και μαθηματικό νόημα όπως εκείνα, που παρουσιάστηκαν σε πρόσφατη συνάντηση στις ΗΠΑ χιλιάδων ανθρώπων, που έχουν κλίση στα μαθηματικά.

Για να φτιάξετε ένα απολλώνιο δίχτυ, ξεκινάτε με τρεις εξωτερικά εφαπτόμενους κύκλους, που εφάπτονται εσωτερικά με έναν τέταρτο μεγαλύτερο κύκλο. Στη συνέχεια, όπου συναντιόνται τρεις από τους τέσσερις κύκλους, σχεδιάζετε έναν κύκλο εφαπτόμενο σ' αυτούς. Αν συνεχίσετε να το κάνετε αυτό πάλι και πάλι, θα καταλήξετε με κάτι σαν μαθηματικό πετσετάκι, που είναι το απολλώνιο δίχτυ και έχει την ιδιότητα να φαίνεται το ίδιο αν ζουμάρετε σε οποιοδήποτε σημείο. Με άλλα λόγια, είναι ένα φράκταλ ή μορφόκλασμα.

Προκύπτει, όμως, ένα ακανθώδες μαθηματικό ερώτημα: Πώς μπορεί να σχηματίσει κανείς έναν κύκλο που χωράει επακριβώς ανάμεσα σε τρεις εφαπτόμενους κύκλους; Ο Απολλώνιος δήλωνε ότι γνώριζε την απάντηση, αλλά το βιβλίο στο οποίο περιέγραφε την απόδειξη χάθηκε στο πέρασμα του χρόνου. Οι λόγιοι της Αναγέννησης προκαλούσαν ο ένας τον άλλο να αποδείξει το θεώρημα του Απολλώνιου. Ο Ντεκάρτ, το 1643, ανακάλυψε πώς να υπολογίζει την ακτίνα του νέου κύκλου, αλλά δεν μπόρεσε να βρει τη θέση του κέντρου του. Η απάντηση σ' αυτό βρέθηκε μόλις τη δεκαετία του 1990, με τη βοήθεια ηλεκτρονικών υπολογιστών.

Ο μαθηματικός - καλλιτέχνης που δημιούργησε το εικονιζόμενο έργο εργαζόταν με ένα πρόγραμμα υπολογιστή για την αποδοτική δημιουργία ενός απολλώνιου διχτυού και καθώς πειραματιζόταν με διάφορες παραμέτρους προέκυψε το σχέδιο της εικόνας (και άλλα εξίσου όμορφα μ' αυτό).

Συνεχίστε αυτή τη διαδικασία επί μακρόν και θα δημιουργηθεί ένα Απολλώνιο δίχτυ.

Το σχήμα στο κέντρο είναι το δεκάγραμμο, ένα είδος αστεριού με 10 μύτες, που οι Πέρσες καλλιτέχνες ενσωμάτωναν στην τέχνη τους επί αιώνες, λόγω των γεωμετρικών του ιδιοτήτων. Για να σχηματίσετε ένα δεκάγραμμο, πάρτε ένα πεντάγωνο και βάλτε πάνω του ένα άλλο πεντάγωνο με στροφή 36 μοιρών. Οι άκρες των δύο πενταγώνων σχηματίζουν ένα δεκάγραμμο.

Ο «Μπλε Ηλιος» έχει δομή τεσσάρων ομόκεντρων δεκαγράμμων. Στην εσωτερική και στην εξώτερη περιοχή μεταξύ των δεκαγράμμων υπάρχει ένα σχέδιο πλακιδίων, ενώ τον ενδιάμεσο χώρο καλύπτει ένα παραδοσιακό σχέδιο, με εικόνες βλαστών, φύλλων και λουλουδιών. Ολο το σχήμα έχει δεκαπλή περιστροφική συμμετρία - αν φανταστείτε ένα λεπτοδείκτη στη θέση δώδεκα η ώρα και τον μετακινήσετε κατά ένα δέκατο του κύκλου, τότε η φέτα 36 μοιρών που θα προκύψει είναι πανομοιότυπη με τις υπόλοιπες 9 ανάλογες φέτες. Κάθε τομέας από τους 10 έχει και τη δική του συμμετρία: σχεδιάστε μια γραμμή που να περνάει από τη μύτη της φέτας και να την κόβει στα δύο και διπλώστε. Τα άκρα των δύο πλευρών θα ταιριάξουν απόλυτα.

Ξεκινώντας από απλές παραδοχές προφανούς ορθότητας, τα αξιώματα (όπως ότι δύο πράγματα που είναι ίσα με ένα τρίτο είναι και μεταξύ τους ίσα), ο Ευκλείδης απέδειξε σειρά θεωρημάτων, που έμοιαζαν να ανταποκρίνονται απόλυτα στη φυσική πραγματικότητα, οικοδομώντας έτσι την Ευκλείδεια Γεωμετρία. Αλλά επί αιώνες, ένα από τα αξιώματα στα οποία στήριξε τη γεωμετρία του - ένα πολύ πιο πολύπλοκο από τα υπόλοιπα - ενοχλούσε τους μαθηματικούς. Φανταστείτε μια ευθεία γραμμή και ένα σημείο που δεν βρίσκεται σε αυτήν τη γραμμή. Είναι δυνατόν να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή που περνάει από αυτό το σημείο και είναι παράλληλη προς την άλλη ευθεία; Το αξίωμα απαντά ότι ναι μπορούμε και ότι υπάρχει μόνο μία τέτοια γραμμή.

Οι μαθηματικοί αναρωτήθηκαν, αν κάτι τέτοιο μπορεί να αποδειχτεί, αντί να το δεχτούμε ως αξίωμα. Το 1826, ο Ρώσος μαθηματικός Νικολάι Λομπατσέφσκι βρήκε την απάντηση, που συγκλόνισε τον κόσμο: Οχι, δεν μπορεί να αποδειχτεί. Δημιούργησε, μάλιστα, μια νέα γεωμετρία, που ήταν πανομοιότυπη με του Ευκλείδη, με τη διαφορά ότι δεν περιείχε το συγκεκριμένο αξίωμα. Στη γεωμετρία του Λομπατσέφσκι μπορεί να υπάρχουν πολλές ευθείες γραμμές που περνάνε από ένα σημείο και είναι παράλληλες με μια άλλη ευθεία.

Η δουλειά του Λομπατσέφσκι έμοιαζε με μαθηματικό περίεργο τεράστιας θεωρητικής σημασίας, αλλά ανεφάρμοστο στον πραγματικό κόσμο. Ωστόσο, τα πρώτα χρόνια του 20ού αιώνα, ο Χέρμαν Μινκόφσκι αντιλήφθηκε ότι οι μη ευκλείδειες γεωμετρίες, όπως του Λομπατσέφσκι, μπορεί να είναι πολύ ανώτερες στην περιγραφή του φυσικού κόσμου, παρότι είναι εξαιρετικά δύσκολο να οπτικοποιηθούν.